Trigonometry in Hindi: त्रिकोणमिति गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसका इस्तेमाल विश्व के विभिन्न क्षेत्र में किया जाता है। चाहे किसी खगोल शास्त्री को तारों के बीच की दूरी जानने हो या किसी देश का तापमान प्राप्त करना हो। हमें हर जगह है त्रिकोणमिति का इस्तेमाल करना पड़ता है, जिस वजह से यह एक महत्वपूर्ण अध्याय बनता है।
त्रिकोणमिति से जुड़े सवालों को हल करने के लिए आपको त्रिकोणमिति के सभी सूत्र और ट्रिक्स की जानकारी होनी चाहिए, जिसे समझाने के लिए आज का यह महत्वपूर्ण लेख लिखा गया है।
तीन भुजाओं और उनके बीच बना हुआ कोण त्रिकोणमिति के अध्याय को जन्म देता है। त्रिकोणमिति सबसे पहले भारत में खोजा गया था, जिसके बाद इसके विभिन्न प्रकार के सूत्र के जरिए विश्व भर में अनेक प्रकार के अविष्कार किए गए।
आज मुख्य रूप से त्रिकोणमिति के सवाल बोर्ड की परीक्षा और विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाती है। आपको अच्छी डिग्री और शिक्षा के साथ-साथ अच्छी नौकरी हासिल करने के लिए त्रिकोणमिति की परिभाषा, त्रिकोणमिति के सभी सूत्र, त्रिकोणमिति के उदाहरण और ट्रिक्स की जानकारी होनी चाहिए, जिसके बारे में आप नीचे पढ़ सकते हैं।
त्रिकोणमिति किसे कहते हैं
इससे पहले कि आप त्रिकोणमिति के सभी सूत्रों को पढ़ है तो इसके उदय के बारे में आपको जानकारी होनी चाहिए। सबसे पहले 16वीं सदी में लैटिन भाषा में इस शब्द का इस्तेमाल किया गया। त्रिकोणमिति दो शब्द से मिलकर बना है, जिसमें पहला शब्द ट्रिगोनो और दूसरा मेट्रॉन है। ट्रिगोनो का तात्पर्य तीन कोण वाला होता है और मेट्रोन का मतलब मापना होता है। सरल शब्दों में त्रिकोणमिति का मतलब होता है 3 कोण को मापने की प्रक्रिया।
त्रिकोणमिति 3 भुजा और तीन कोण वाले आकृति से संबंध रखता है। आप चाहे किसी भी आकृति को देख रहे हो अगर उसे आप तीनो को और 3 भुजा वाले आकृति में काट सकते हैं, तो वहां पर अब त्रिकोणमिति का इस्तेमाल कर सकते है।
त्रिकोणमिति का इस्तेमाल केवल आकृति को समझने के लिए ही नहीं बल्कि गणित के जटिल संख्याओं, अनंत श्रृंखला जैसी अध्यायों में भी किया जाता है। गणित में तीन कोण को समझने और मापने के लिए sin, cos, tan जैसे शब्दों का इस्तेमाल किया जाता है और आप इन शब्दों को अनंत श्रृंखला जटिल, संख्या जैसे अध्याय में भी पाएंगे, जिस वजह से आपको त्रिकोणमिति के सभी सूत्र और ट्रिक्स पता होना आवश्यक है।
त्रिकोणमिति के सूत्र
त्रिकोणमिति के कुछ साधारण सूत्र हैं, जिनके बारे में जानकारी हर किसी को होनी चाहिए ताकि आप त्रिभुज ऊंचाई कारण और आधार का नाप पता कर सके:
- cotθ = आधार/लम्ब = b / p
- secθ = कर्ण/आधार = h / b
- coescθ = कर्ण/लम्ब = h / p
- sinθ = लम्ब/कर्ण = p / h
- cosθ = आधार/कर्ण = b / h
- tanθ = लम्ब/आधार = p / b
ऊपर बताए गए सूत्र में b = आधार, p = लंब और h = कर्ण होता है।
त्रिकोणमिति अनुपात सूत्र
त्रिकोणमिति में जब हम दो त्रिभुज को भाग देते हैं तो उनके अंश के बीच अनुपात प्राप्त होता है, जिस अनुपात के बीच कुछ संबंध होता है। जिस संबंध के आधार पर बहुत सारे त्रिकोणमिति सवाल हल हो जाते हैं। आपको त्रिकोणमिति अनुपात का सूत्र ज्ञात होना चाहिए ताकि कुछ सरल सवालों का हल आप जल्द प्राप्त कर सके:
- Secθ = 1 / Cosθ
- Tanθ × Cotθ = 1
- Tanθ = 1 / Cotθ
- Cotθ = 1 / Tanθ
- Tanθ = sinθ / Cosθ
- Cotθ = Cosθ / sinθ
- sinθ × Cosecθ = 1
- Cosecθ = 1 / sinθ
- Cosθ × Secθ = 1
- Cosθ = 1 / Secθ
- sinθ = 1 / Cosecθ
नोट: याद रखें ऊपर बताए गए सभी सूत्र में अलग-अलग प्रकार का सूत्र बैठाने से आप प्रत्येक सूत्र को साबित कर सकते हैं। इसके अलावा अगर इस सूत्र के बनने की प्रक्रिया पर बात करें तो आप त्रिकोणमिति के sin, cos, tan को भाग देंगे तो इस तरह के सूत्र उत्पन्न होते हैं।
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कुछ अन्य महत्वपूर्ण त्रिकोणमिति के सूत्र
ऊपर बताए गए सभी सूत्र का पालन करने पर अब साधारण सवालों को हल कर सकते हैं। मगर त्रिकोणमिति के सवाल गणित के अलग-अलग अध्याय में इस्तेमाल किए जाते हैं। उस वक्त आपको कुछ महत्वपूर्ण बातों का ध्यान रखना होगा, जिसके आधार पर आप त्रिकोणमिति के सवाल को हल कर पाएंगे। उन सभी आवश्यक त्रिकोणमिति सूत्र की सूची नीचे दी गई है:
- Cosec θ / Sec θ = Cot θ
- Sec θ / Tan θ = Cosec θ
- Tan θ / Sin θ = Sec θ
- Cot θ / Cosec θ = Cos θ
- Sin θ / Cos θ = Tan θ
- Cos θ / Cot θ = Sin θ
त्रिकोणमिति सर्वसमिकाएं
त्रिकोणमिति के कुछ ऐसे आईडेंटिटी हैं, जिनका इस्तेमाल करके अब बड़ी आसानी से किसी भी सवाल को हल कर सकते हैं, जिसे हम त्रिकोणमिति का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र कहते हैं। जिसका इस्तेमाल आप कोई 10वी और 12वीं के बोर्ड परीक्षा में करने का मौका मिलता है। इसके अलावा इस सूत्र से जुड़े कुछ सवाल स्नातक स्तर की प्रतियोगिता में इस्तेमाल किया जाता है।
- sin²θ + cos²θ = 1
- cosec²θ = cot²θ + 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
ऊपर दिए गए सूत्र में मौजूद सभी इकाई को इधर-उधर करके आप नए-नए सूत्र उत्पन्न कर सकते है, जिनका इस्तेमाल अलग अलग प्रश्न में किया जाता है।
त्रिकोणमिति में दो कोण का योग
जैसा कि हम जानते हैं त्रिकोणमिति में आपको त्रिभुज से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं तो अगर उनको अगर आप जोड़ने का प्रयास करेंगे तो त्रिकोणमिति में वह किस प्रकार जोड़ते है इसके लिए कुछ चित्र दिए गए हैं, जिनकी जानकारी आपको होनी चाहिए।
- Sin(A+B) = Sin A . Cos B + Cos A . Sin B
- Cos (A+B) = Cos A . Cos B − Sin A . Sin B
- Tan ( A + B ) = (Tan A + Tan B) / ( 1 − Tan A . Tan B)
- Cot ( A + B ) = (Cot A . Cot B − 1) / (Cot B + Cot A)
- cot(A – B) = (cot A . cot B + 1) / ( cot B – cot A )
- Sin(A-B) = Sin A . Cos B − Cos A . Sin B
- Cos ( A-B ) = Cos A . Cos B + Sin A . Sin B
- tan(A – B)= ( tan A – tan B )/ ( 1 + tan A . tan B )
त्रिकोणमिति के कुछ अन्य सूत्र
त्रिकोणमिति के सवाल को हल करने के लिए कुछ और सूत्र भी बनाए गए हैं। जिन सूत्र का इस्तेमाल विभिन्न प्रकार के जटिल सवालों में किया जाता है। मुख्य रूप से इस तरह के सूत्र का इस्तेमाल करने के लिए आपको 11वीं 12वीं के बोर्ड परीक्षा और गणित में स्नातक की पढ़ाई करते वक्त मिलेगी।
- tan( 2θ ) = [ 2tan( θ )] / [1−tan2( θ )]
- sec ( 2θ ) = sec2 θ / (2-sec2 θ )
- Cosec ( 2θ ) = (sec θ . Cosec θ ) / 2
- sin( 2θ ) = 2sin( θ ) • cos( θ ) = [ 2tan θ / (1+tan2 θ )]
- cos( 2θ ) = 2cos2( θ )−1 = 1–2sin2( θ )
- cos( 2θ ) = cos2( θ ) – sin2( θ ) = [ (1- tan2 θ ) / ( 1+tan2 θ )]
निष्कर्ष
हमने अपने आज के इस महत्वपूर्ण लेख में आप सभी लोगों को त्रिकोणमिति क्या है?, परिभाषा, सूत्र और उदाहरण (Trigonometry in Hindi) के बारे में जानकारी प्रदान की है। हमें उम्मीद है कि हमारे द्वारा दिया गया आज का यह महत्वपूर्ण टिप्स आप लोगों के लिए काफी हेल्पफुल और यूज़फुल साबित हुआ होगा।
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